Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel (/ˈɑːbəl/ AH-bəl, Norveççe telaffuz: [ˈɑ̀ːbl̩]; 5 Ağustos 1802 - 6 Nisan 1829), çeşitli alanlarda öncü katkılarda bulunan Norveçli bir matematikçiydi.[1] En ünlü yegane sonucu, Genel beşinci dereceden denklemi radikallerde çözmenin imkansızlığını gösteren ilk tam kanıttır. Bu soru, zamanının öne çıkan açık kalmış sorunlarından biriydi ve 250 yılı aşkın bir süredir çözülemedi.[2] Aynı zamanda eliptik fonksiyonlar alanında bir yenilikçi, Abelyen fonksiyonların kaşifiydi. Buluşlarını yoksulluk içinde yaşarken yaptı ve 26 yaşında tüberkülozdan öldü.

Çalışmalarının çoğu, çalışma hayatının altı veya yedi yılında yapıldı.[3] Fransız matematikçi Charles Hermite, Abel hakkında şunları söyledi: "Abel, matematikçileri beş yüz yıl boyunca meşgul edecek kadar sonuç bıraktı."[3][4]

Başka bir Fransız matematikçi olan Adrien-Marie Legendre şöyle dedi: "quelle tête celle du jeune Norvégien!" ("what a head the young Norwegian has!", "Genç Norveçlinin nasıl bir kafası var!").[5]

Aslen 1899'da Nobel Ödüllerini tamamlamak için önerilen matematikteki Abel Ödülü, onun onuruna adlandırılmıştır.

Niels Henrik Abel
Niels Henrik Abel.jpg
Doğum 5 Ağustos 1802
Nedstrand, Danimarka-Norveç
Ölüm 6 Nisan 1829 (26 yaşında)
Froland, Norveç
Ölüm sebebi Tüberkiloz
Defin yeri Froland Mezarlığı
58°31′36″N 8°39′06″E / 58.5265570°K 8.6515620°D
Milliyet Norveçli
Vatandaşlık Norveç
Eğitim Oslo Üniversitesi
Mezun olduğu okul(lar) Royal Frederick University (BA, 1822)
Tanınma nedeni
  • Abel binom teoremi
  • Abel denklemi
  • Birinci tip Abel denklemi
  • Abelyen genişlemesi
  • Abel fonksiyonu
  • Abelyen grup
  • Abel özdeşliği
  • Abel eşitsizliği
  • Abel indirgenemezlik teoremi
  • Abel-Jacobi haritası
  • Abel-Plana formülü
  • Abel-Ruffini teoremi
  • Abelyen ortalamalar
  • Abel toplam formülü
  • Abelyenn ve tauberyen teoremler
  • Abel testi
  • Abel teoremi
  • Abel elliptik fonksiyonları
  • Abel transformu
  • Abel dönüşümü
  • Abelyen varyete
  • CM-tip abelyen varyete
  • İkili abelyen varyete
Ödüller Grand prix des sciences mathématiques (1830)
Kariyeri
Dalı Matematik
Tez  (1822)
Doktora
danışmanı
Bernt Michael Holmboe
İmza
Niels Henrik Abel signature.png

Erken dönem

Niels Henriks Abel'in ebeveynleri, 1809.
Søren Georg AbelAnne Marie Abel

Niels Henrik Abel, papaz Søren Georg Abel ve Anne Marie Simonsen'in ikinci çocuğu olarak Nedstrand, Norveç'te doğdu. Niels Henrik Abel doğduğunda aile Finnøy'de bir papaz evinde yaşıyordu. Niels Henrik'in doğum yılının Temmuz / Ağustos aylarında Nedstrand'daki icra memurunun misafirleri olduğu için, Niels Henrik'in komşu cemaatte doğduğunu gösteriyor.[6][note 1]

Niels Henrik Abel'in babası Søren Georg Abel, teoloji ve felsefe diplomasına sahipti ve Finnøy'de papaz olarak görev yaptı. Søren'in babası, Niels'in büyükbabası Hans Mathias Abel de Risør kasabası yakınlarındaki Gjerstad Kilisesi'nde papazdı. Søren, çocukluğunu Gjerstad'da geçirmiş ve orada papaz olarak da hizmet etmişti; 1804'te babasının ölümünden sonra, Søren Gjerstad'a papaz olarak atandı ve aile oraya taşındı. Abel ailesinin kökleri Schleswig'de doğdu ve 17. yüzyılda Norveç'e geldi.

1890-95 yılında Gjerstad kilisesi ve bölge papazının konutunun kartpostalı. Bölge papazının makam binası (evi), Abel'ın burada yaşadığı zamankiyle aynıydı.

Anne Marie Simonsen, Risør'dandı; babası Niels Henrik Saxild Simonsen, bir tüccar ve ticaret gemisi sahibiydi ve Risør'daki en zengin kişi olduğu söyleniyordu. Anne Marie, görece lüks bir çevrede iki üvey anneyle büyümüştü. Gjerstad papaz evinde balolar düzenlemekten ve sosyal toplantılar yapmaktan hoşlanıyordu. Çoğu kişi, onun erken bir alkolik olduğunu ve çocukların yetiştirilmesiyle çok az ilgilendiğini söylüyor. Niels Henrik ve kardeşlerine okumaları için el yazısı kitaplarla babaları tarafından eğitim verildi. Bir matematik kitabındaki bir toplama tablosu şöyledir: 1+0=0.[6]

Katedral Okulu ve Kraliyet Frederick Üniversitesi

Norveç'in bağımsızlığı ve 1814'te Norveç'te yapılan ilk seçimle birlikte Søren Abel, Storting'e temsilci olarak seçildi. Storting'in toplantıları 1866'ya kadar Christiania'daki (şimdi Oslo olarak bilinen) Katedral Okulu'nun ana salonunda yapıldı. Neredeyse kesinlikle, okulla bu şekilde tanıştı ve en büyük oğlu Hans Mathias'ın ertesi yıl okula başlaması gerektiğine karar verdi. Ancak, ayrılma zamanı yaklaştığında, Hans evden ayrılmak zorunda kaldığı için o kadar üzüldü ve bunalıma girdi ki, babası onu göndermeye cesaret edemedi. Bunun yerine Niels'ı göndermeye karar verdi.[6]

1815'te Niels Abel, 13 yaşında Katedral Okulu'na girdi. Bir yıl sonra ağabeyi Hans da ona katıldı. Odaları paylaştılar ve ortak sınıfları vardı. Hans, Niels'den daha iyi notlar aldı; ancak 1818'de yeni bir matematik öğretmeni olan Bernt Michael Holmboe atandı. Öğrencilere evde yapmaları için matematiksel görevler verdi. Niels Henrik'in matematikteki yeteneğini gördü ve konuyu ileri düzeyde incelemesi için onu teşvik etti. Okuldan sonra Niels'e özel ders bile verdi.

1818'de Søren Abel, ilahiyatçı Stener Johannes Stenersen ile 1806'daki ilmihaliyle ilgili olarak halka açık bir teolojik tartışma yaptı. Tartışma basında iyi bir şekilde yer aldı. Søren'e "Abel Treating" (Norveççe: "Abel Spandabel") takma adı verildi. Niels'in tartışmaya tepkisinin "aşırı neşe (excessive gaiety)" olduğu söylendi. Aynı zamanda Søren, Norveç Kurucu Meclisine ev sahipliği yapan Carsten Anker'e hakaret ettikten sonra neredeyse görevden almayla karşı karşıya kaldı ve Eylül 1818'de siyasi kariyeri harap halde Gjerstad'a döndü. Ağır şekilde içmeye başladı ve sadece iki yıl sonra, 1820'de 48 yaşında öldü.

Bernt Michael Holmboe, Niels Henrik Abel'ı okulda kalması için bursla destekledi ve Royal Frederick Üniversitesi'nde öğrenim görmesi için arkadaşlarından para topladı.

Abel 1821'de üniversiteye girdiğinde, zaten Norveç'teki en bilgili matematikçiydi. Holmboe'nun ona öğretebileceği başka bir şey yoktu ve Abel üniversite kütüphanesindeki en son matematik literatürünü incelemişti. Bu süre zarfında Abel, radikallerdeki beşinci dereceden denklem üzerinde çalışmaya başladı. Matematikçiler 250 yılı aşkın bir süredir bu probleme bir çözüm arıyorlardı. 1821'de Abel çözümü bulduğunu düşündü. Christiania'daki iki matematik profesörü, Søren Rasmussen ve Christopher Hansteen, Abel'ın formüllerinde hiçbir hata bulamadılar ve çalışmayı İskandinav ülkelerinin önde gelen matematikçisi Kopenhag'daki Carl Ferdinand Degen'e gönderdiler. O da hiçbir kusur bulamamıştı ama yine de birçok seçkin matematikçinin uzun süredir aradığı çözümün, gerçekten de uzaklardaki Christiania'da bilinmeyen bir öğrenci tarafından bulunabileceğinden şüpheliydi. Ancak Degen, Abel'ın alışılmadık derecede keskin zekasına dikkat çekti ve böyle yetenekli bir genç adamın yeteneklerini beşinci derece denklem gibi "steril bir nesne" üzerinde değil, daha çok eliptik fonksiyonlar ve aşkınlık üzerinde harcaması gerektiğine inanıyordu; çünkü o zaman, diye yazdı Degen, "geniş bir analitik okyanusun büyük bölümlerine giden Macellan ana yollarını keşfedecekti".[6] Degen, Abel'den yönteminin sayısal bir örneğini vermesini istedi. Abel bir örnek vermeye çalışırken makalesinde bir hata buldu.[9] Bu, 1823'te beşinci veya daha yüksek dereceden bir denklemin çözümünün imkansız olduğunun keşfine yol açtı.[10]

Abel 1822'de mezun oldu. Performansı matematikte son derece yüksek ve diğer konularda ortalamaydı.

Kariyeri

Niels Henrik Abel'ın defterinden.

Mezun olduktan sonra, üniversiteden profesörler Abel'ı maddi olarak desteklediler ve Profesör Christopher Hansteen, evinin çatı katındaki bir odada yaşamasına izin verdi. Abel daha sonra Bayan Hansteen'i ikinci annesi olarak görecekti. Burada yaşarken, Abel küçük kardeşi Peder Abel'e examen artium yoluyla yardım etti. Ayrıca kız kardeşi Elisabeth'in kasabada iş bulmasına yardım etti.

1823'ün başlarında, Niels Abel, Profesör Hansteen tarafından ortaklaşa kurulan Norveç'in ilk bilimsel dergisi olan "Magazin for Naturvidenskaberne" de ilk makalesini yayınladı. Abel birkaç makale yayınladı, ancak dergi kısa sürede bunun sıradan okuyucu için önemli olmadığını anladı. 1823'te Abel ayrıca Fransızca bir makale yazdı. Bu, "tüm diferansiyel formülleri entegre etme olasılığının genel bir temsili" idi (İngilizce: a general representation of the possibility to integrate all differential formulas, Norveççe: en alminnelig Fremstilling af Muligheten at integrere alle mulige Differential-Formler). Yayınlamak için üniversitede fon başvurusunda bulundu. Ancak eser gözden geçirilirken kaybolmuş, daha sonra bir daha bulunamamıştı.[6]

Christine Kemp

1823'ün ortalarında, Profesör Rasmussen, Kopenhag'a seyahat edebilmesi ve Ferdinand Degen'i ve oradaki diğer matematikçileri ziyaret edebilmesi için Abel'a 100 speciedaler hediye etti. Kopenhag'dayken Abel, Fermat'nın son teoremi üzerinde bazı çalışmalar yaptı. Abel'in amcası Peder Mandrup Tuxen, Christianshavn, Kopenhag'daki deniz üssünde yaşıyordu ve oradaki bir baloda Niels Abel, müstakbel nişanlısı Christine Kemp ile tanıştı. 1824'te Christine, mürebbiye olarak çalışmak için Son'a taşındı ve çift Noel'de nişanlandı.[6]

Kopenhag'dan döndükten sonra, Abel Almanya ve Fransa'daki en iyi matematikçileri ziyaret etmek için bir devlet bursuna başvurdu, ancak bunun yerine iki yıl boyunca Christiania'da kalması ve Almanca ve Fransızca eğitimi alması için yılda 200 speciedaler verildi. Önümüzdeki iki yıl içinde, kendisine yıllık 600 speciedaler burs vadedildi ve daha sonra yurt dışına seyahat etmesine izin verilecekti.[6] Abel, bu dilleri incelerken, 1824'te ilk dikkate değer eseri olan Mémoire sur les équations algébriques où on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré’yi yayınladı[11] ("Memoir on algebraic equations, in which the impossibility of solving the general equation of the fifth degree is proven", "Beşinci dereceden genel denklemi çözmenin imkansızlığının kanıtlandığı cebirsel denklemler üzerine hatıra"). Çünkü, 1823'te Abel, en sonunda, kuintik denklemi radikallerde (şimdi Abel-Ruffini teoremi olarak anılır) çözmenin imkansızlığını kanıtlamıştı. Bununla birlikte, bu makale, kısmen, baskıdan tasarruf etmek için kendisini yalnızca altı sayfayla sınırladığı için, karmaşık ve zor bir biçimdeydi. Daha ayrıntılı bir kanıt 1826'da Crelle's Journal’ın ilk cildinde yayınlandı.

Abel'ın 1825-26 yılları arasında yaşadığı Berlin'de 2014 yılında açılan anıt plaket.

1825'te Abel, Norveç/İsveç Kralı Carl Johan'a yurt dışına seyahat izni talep eden kişisel bir mektup yazdı. Kendisine bu izin verildi ve Eylül 1825'te üniversiteden dört arkadaşı (Christian P. B. Boeck, Balthazar M. Keilhau, Nicolay B. Møller ve Otto Tank) ile birlikte Christiania'dan ayrıldı. Abel'ın bu dört arkadaşı, jeoloji okumak için Berlin'e ve Alplere seyahat ediyorlardı. Abel onları Kopenhag'a kadar takip etmek ve oradan Göttingen'e gitmek istedi. Bursunun şartları, Göttingen'de Gauss'u ziyaret etmesini ve ardından Paris'e devam etmesini şart koşuyordu. Ancak Kopenhag'a vardığında planlarını değiştirdi. Arkadaşlarını takip ederek Berlin'e gitmek istedi, daha sonra Göttingen ve Paris'i ziyaret etmek niyetindeydi.[6]

Yolda, şimdi Hamburg'un bir bölgesi olan Altona'da gökbilimci Heinrich Christian Schumacher'i ziyaret etti. Daha sonra Berlin'de dört ay geçirdi ve burada matematik dergisi Journal für die reine und angewandte Mathematik’i yayınlamak üzere olan August Leopold Crelle ile yakından tanıştı. Bu proje, girişimin başarısına büyük katkıda bulunan Abel tarafından sıcak bir şekilde teşvik edildi. Abel, ilk yılında ona yedi makaleyle katkıda bulundu.

Abel de arkadaşlarını Berlin'den Alpler'e kadar takip etti. Georg Amadeus Carl Friedrich Naumann'ı ve kardeşi matematikçi August Naumann'ı ziyaret etmek için Leipzig ve Freiberg'e gitti. Freiberg'de Abel fonksiyonlar teorisi, özellikle eliptik, hipereliptik ve şimdi abelyen fonksiyonlar olarak bilinen yeni bir sınıf üzerine araştırma yaptı.

Freiberg'den Dresden, Prag, Viyana, Trieste, Venedik, Verona, Bolzano, Innsbruck, Luzern ve Basel'e gittiler. Temmuz 1826'dan itibaren Abel, Basel'den Paris'e kendi başına seyahat etti. Abel, çalışmalarının çoğunu Crelle's Journal’da yayınlanmak üzere Berlin'e göndermişti, ancak en önemli çalışması olarak gördüğü şeyi, cebirsel diferansiyellerin eklenmesine ilişkin bir teoremi Fransız Bilimler Akademisi'ne saklamıştı. Bir ressam olan Johan Gørbitz'in yardımıyla Paris'te bir apartman dairesi buldu ve teorem üzerindeki çalışmalarına devam etti. Ekim 1826'da bitirdi ve akademiye sundu. Augustin Louis Cauchy tarafından gözden geçirilecekti. Abel'in çalışmaları Paris'te pek bilinmiyordu ve alçakgönüllülüğü araştırmasını ilan etmesini engelledi. Teorem bir kenara bırakıldı ve ölümüne kadar unutuldu.

Abel'in sınırlı mali durumu sonunda onu Ocak 1827'de turunu terk etmeye zorladı. Berlin'e döndü ve Crelle's Journal’ın editörü olarak bir pozisyon teklif edildi, ancak vazgeçti. Mayıs 1827'de Norveç'e geri döndü. Yurt dışı turu bir başarısızlık olarak görülüyordu. Gauss'u Göttingen'de ziyaret etmemişti ve Paris'te hiçbir şey yayınlamamıştı. Bu nedenle bursu yenilenmedi ve Norges Bank'tan 200 spesidaler'lik özel bir kredi almak zorunda kaldı. Bu krediyi asla geri ödemedi. O da ders vermeye başladı. Çalışmalarının çoğunu Crelle's Journal’a göndermeye devam etti. Ancak 1828'in ortalarında, Carl Jacobi ile rekabet halinde Altona'daki Astronomische Nachrichten’de eliptik fonksiyonlar üzerine önemli bir çalışma yayınladı.

Ölümü

Abel Paris'teyken tüberküloza yakalandı. 1828 Noelinde nişanlısını ziyaret etmek için kızakla Norveç'in Froland kentine gitti. Yolculuk sırasında ciddi şekilde hastalandı. Geçici bir iyileşme, çiftin birlikte tatilin tadını çıkarmasına izin vermesine rağmen, 6 Nisan 1829'da, August Crelle'den bir mektup gelmeden sadece iki gün önce, nispeten kısa bir süre sonra öldü. Crelle, Berlin'de Abel için yeni bir iş arıyordu ve aslında onu Berlin Üniversitesi'ne Profesör olarak atamayı başarmıştı. Crelle, Abel'a söylemek için yazdı, ama iyi haber çok geç geldi.

Abel, açık cebirsel işlemler açısından, beşinci dereceden bir denklemin kökleri veya dörtten büyük dereceli herhangi bir genel polinom denklemi için genel bir cebirsel çözüm olmadığını gösterdi. Bunu yapmak için (Galois'ten bağımsız olarak), grup teorisi olarak bilinen ve yalnızca matematiğin birçok alanında değil, aynı zamanda fiziğin çoğu için de paha biçilmez olan bir matematik dalı icat etti. Abel, beşinci dereceden denklemin çözülemezliği üzerine bir makale gönderdi ve Carl Friedrich Gauss, bir delinin değersiz işi olduğuna inandığı şeyi bir göz atmadan görmezden geldi.[12]

16 yaşındaki Abel, Euler'in sadece rasyoneller için geçerli olan sonucunu genişleterek, tüm sayılar için geçerli olan binom teoreminin kesin bir kanıtını verdi [13][14] Abel, eliptik fonksiyonlar teorisinin temellerini içeren, eliptik integraller teorisi üzerine temel bir çalışma yazdı. Paris'e seyahat ederken, Adrien-Marie Legendre'nin daha sonra Augustin-Louis Cauchy'ye "bronzdan daha uzun ömürlü bir anıt" olarak tanımladığı (Romalı şair Horatius'un ünlü bir cümlesini ödünç alarak) eliptik fonksiyonların çift periyodikliğini ortaya koyan bir makale yayınladı. Ancak makale Cauchy tarafından kaybedildi.[12] Yurt dışındayken Abel, çalışmalarının çoğunu Crelle's Journal’da yayınlanmak üzere Berlin'e göndermişti, ancak en önemli çalışması olarak gördüğü şeyi, cebirsel diferansiyellerin eklenmesine ilişkin bir teoremi Fransız Bilimler Akademisi'ne sunmuştu. Teorem bir kenara bırakıldı ve ölümüne kadar unutuldu. Abel, Freiberg'deyken fonksiyonlar teorisi, özellikle eliptik, hipereliptik ve şimdi abelyen fonksiyonlar olarak bilinen yeni bir sınıf üzerine araştırma yaptı.

1823'te Abel, "tüm diferansiyel formülleri entegre etme olasılığının genel bir temsili" başlıklı bir makale yazdı (İngilizce: a general representation of the possibility to integrate all differential formulas, Norveççe: en alminnelig Fremstilling af Muligheten at integrere alle mulige Differential-Formler). Yayınlamak için üniversitede fon başvurusunda bulundu. Ancak eser gözden geçirilirken kayboldu ve daha sonra bir daha bulunamadı [6]

Abel, Carl Friedrich Gauss'un üslubu hakkında ünlü olan şu sözleri söyledi:

"O, kuyruğuyla kumda izlerini silen tilki gibidir."

Gauss ona,

"Kendine saygısı olan hiçbir mimar, inşaatını tamamladıktan sonra iskeleyi yerinde bırakmaz"

diyerek cevap verdi.[15]

Abel'ın rehberliğinde, analizde hakim olan belirsizlikler ortadan kaldırılmaya başlandı, yeni alanlara girildi ve fonksiyonların incelenmesi, matematikçilere ilerleme kaydedilebilecek sayısız dallanma sağlayacak kadar ilerledi. Büyük bir kısmı orijinal olarak Crelle's Journal’da yer alan eserleri, Bernt Michael Holmboe tarafından düzenlendi ve 1839'da Norveç hükumeti tarafından yayınlandı. Ludwig Sylow ve Sophus Lie tarafından daha eksiksiz bir baskı 1881'de yayınlandı. Adından türetilen "abelyen (İngilizce: abelian)" sıfatı, matematiksel yazımda o kadar yaygın hale geldi ki, geleneksel olarak küçük harf "a" ile yazılıyor (örneğin, abelyen grup, abelyen kategori ve abelyen varyete).

6 Nisan 1929'da, Abel'in ölümünün yüzüncü yılı için dört Norveç pulu basıldı. Portresi, 1978-1985 yılları arasında basılan 500 kronluk banknotta (sürüm V) yer almaktadır. 5 Haziran 2002'de, doğumunun iki yüzüncü yıl dönümünden iki ay önce Abel'ın onuruna dört Norveç pulu basıldı. Norveç tarafından onun onuruna çıkarılan 20 kronluk bir madeni para da vardır. Abel'ın bir heykeli Oslo'da duruyor ve Ay'daki Abel krateri onun onuruna adlandırıldı.[16] 2002 yılında anısına Abel Ödülü kuruldu.

Matematikçi Felix Klein, Abel hakkında şunları yazdı:

Ancak, matematik tarihinde nadiren ortaya çıkan bu ideal araştırmacı tipinden, tamamen farklı alanına rağmen, hala ilişkili görünen başka bir alandan bir şahsiyeti çağrıştırmadan ayrılmak istemiyorum. Bu nedenle, Abel birçok matematikçiyle tam bir müzik yeteneği eksikliğini paylaşıyor olsa da, onun üretkenliğini ve kişiliğini Mozart'ınkiyle karşılaştırırsam saçma olmaz. Böylece, Viyana'daki Mozart'ınki gibi, bu ilahi ilhamlı matematikçiye bir anıt dikilebilir: basit ve alçakgönüllü bir şekilde orada durup dinlerken, zarif melekler etrafta süzülür, şakacı bir şekilde ona başka bir dünyadan ilham getirir.

Bunun yerine, aslında Christiania'da Abel onuruna dikilmiş olan ve onun doğasına aşina olan herkesi büyük ölçüde hayal kırıklığına uğratması gereken çok farklı türden bir anıttan bahsetmeliyim. Byron tipi genç bir atlet, yüksek, dik bir granit bloğunun üzerinde, göğe doğru yönelen iki grimsi kurbanlık kurbanının üzerinden geçer. Gerekirse, kahraman insan ruhunun bir sembolü olarak alınabilir, ancak iki canavarın daha derin önemi boşuna düşünülür. Bunlar fethedilmiş beşinci dereceden denklemler mi yoksa eliptik fonksiyonlar mı? Ya da günlük yaşamının üzüntüleri ve kaygıları? Anıtın kaidesinde büyük harflerle ABEL yazısı vardır.[17]

  1. ^ Ore, Øystein (18 Nisan 2018). "Niels Henrik Abel". Store Norske Leksikon (Norveçce).
  2. ^ "Niels Henrik Abel". www.matematikk.org (Norveçce). 5 Mayıs 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Mayıs 2018.
  3. ^ a b "Charles Hermite Quotes - 2 Science Quotes - Dictionary of Science Quotations and Scientist Quotes". 26 Mayıs 2010 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 12 Eylül 2015.
  4. ^ "Charles Hermite Quotes". 8 Ağustos 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 8 Ağustos 2013.
  5. ^ "Niels Abel". 9 Mayıs 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 12 Eylül 2015.
  6. ^ a b c d e f g h i Stubhaug, Arild, Niels Henrik Abel – utdypning (NBL-artikkel) – Store norske leksion
  7. ^ Skadberg, Gunnar A.: Ætt og heim 2004, chapter 5, Sogneprest Søren Georg Abel – Matematikerens far. 82-90087-65-9.
  8. ^ Myhre, Sigmar: Ætt og heim 2009, chapter 6, Niels Henrik Abel – fødestaden. 978-82-90087-72-7.
  9. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Niels Henrik Abel", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
  10. ^ Bruno, Leonard (1999). Math & Mathematics: The History of Math Discoveries Around the World (Volume 1: A-H). 27500 Drake Road, Farmington Hills, MI 48311-3535: U•X•L. s. 3. ISBN 0-7876-3812-9.
  11. ^ N. H. Abel, Mémoire sur les équations algébraiques où on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième dégré
  12. ^ a b "Abel, Niels Henrik (1802-1829) -- from Eric Weisstein's World of Scientific Biography". 8 Şubat 2002 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 12 Eylül 2015.
  13. ^ "Abel, Niels Henrik". Eric Weisstein's World of Science. Wolfram Research. 8 Şubat 2002 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ocak 2017.
  14. ^ Encyclopedia of the Enlightenment. Routledge. 2002. s. 562. ISBN 9781135959982. Erişim tarihi: 27 Ocak 2017.
  15. ^ Simmons, George Finlay (1992). Calculus Gems. New York: McGraw Hill. s. 177. ISBN 0-88385-561-5.
  16. ^ Abel krateri
  17. ^ Klein, Felix (1979). Development of mathematics in the 19th century [19. yüzyılda matematiğin gelişimi]. Math Sci Press. s. 97. ISBN 9780915692286.